日本で外国人の方が出産したとき、赤ちゃんは国籍と在留資格がどうなるかを考えなければなりません。（本当は生まれる前にシュミレーションして準備がベターです）
まず、日本で生まれたら、出生届を市区町村へ。すると、住民票が作成されます。
とりあえず、在留資格については、「経過滞在者」と記載され、６０日たっても在留資格の情報が確認できなければ、市区町村は住民票から落とします。（いやな感じですね）
実際は、在留資格の情報が来てないから、あなたのお子さんの欄を消しますよ、と通知が来るようです。
本来は、市区町村に出生届を出し、受理証明書をとって、本国側の手続を確認します。
国によっては、出生届は事後本国で、という国もあるようですが、
日本側の出生届受理証明書などを本国に出せるように翻訳して出したりするところが多いように思います。そこで、本国の国籍がとれるのか、パスポートはどうなるのかを確認してください。
そして、父、母の生計要件の資料や必要書類を揃え、入管に赤ちゃんの在留資格を申請します。
ここまでを出生から３０日以内。遅くても６０日以内です。
※申請の時に、国籍国となるパスポートはどういう扱いか（未取得の場合、理由を記載）申述します。
赤ちゃんの在留資格は、就労系のご両親のお子さんであれば「家族滞在」。身分系のお子さんであれば「定住者」や「永住者の配偶者等」「日本人の配偶者等（実子）※父の日本国籍を取らなかった場合」などがありますが、ご両親が永住者であれば、いきなり「永住」がとれる場合もあります。
在留資格取得が認められると、住民票にあった「出生による経過滞在者」の記載は、在留資格の名称にUPDATEされます。
赤ちゃんが生まれたら自動的にビザがもらえる、というわけではないので、気を付けてください。